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        2021考研數學:線性代數專項輔導
        考研數學用書2021-漸進式講解-突出重點-不留盲點

         

        商城價12.60 今日促銷
        定 價¥28.00
        作 者中公教育研究生考試研究院
        出版時間2020/3/1
        出版社世界圖書出版公司
        ISBN9787519212506
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        作 者:中公教育研究生考試研究院
        出版社:世界圖書出版公司
        出版時間:2020/3/1
        版 次:1
        裝 幀:平裝
        開  本:16開
        ISBN:9787519212506
          商品介紹

            《中公版·2021考研數學:線性代數專項輔導》是針對參加2021年考研數學的考生編寫的一本專項圖書,書中包含了考研數學大綱規定的線性代數的全部考點。
        全書共分六章,每章包含六個模塊?!緦W習提要】和【考試要求】簡單分析了本章知識點與其他章節之間的聯系以及考試大綱對各考點的具體要求?!颈菊轮R框架圖】再現了本章知識網絡?!净A知識講解】以淺顯的角度切入,詳細地講解了本章涉及的基本概念、重要定理和性質,部分核心考點附有二維碼,考生掃碼可以聽微課?!镜湫屠}與方法技巧】對各考點涉及的題型做了細致的分類?!颈菊峦骄毩曨}】與“同步練習題答案解析”相配套,篩選了適量習題,供考生自測學習效果,個別題目附有二維碼,考生掃碼可聽題目視頻講解。

          目錄

        第一章行列式
        考試要求
        本章知識框架圖
        基礎知識講解
        一、行列式的概念
        二、行列式的性質
        三、行列式的計算
        典型例題與方法技巧
        本章同步練習題
        一、選擇題
        二、填空題
        三、解答題
        同步練習題答案解析
        第二章矩陣
        學習提要
        考試要求
        本章知識框架圖
        基礎知識講解
        一、矩陣及其運算
        二、逆矩陣及其運算
        三、等價矩陣及矩陣的秩
        四、分塊矩陣及其運算
        典型例題與方法技巧
        一、矩陣及其運算
        二、逆矩陣及其運算
        三、初等變換及矩陣的秩
        四、分塊矩陣及其運算
        本章同步練習題
        一、選擇題
        二、填空題
        三、解答題
        同步練習題答案解析
        第三章向量
        疤嵋?
        考試要求
        本章知識框架圖
        基礎知識講解
        一、向量組的相關知識
        二、向量空間的相關知識
        典型例題與方法技巧
        一、向量組的相關問題
        二、向量空間的相關問題
        本章同步練習題
        一、選擇題
        二、填空題
        三、解答題
        同步練習題答案解析
        第四章線性方程組
        疤嵋?
        考試要求
        本章知識框架圖
        基礎知識講解
        一、齊次線性方程組
        二、非齊次線性方程組
        典型例題與方法技巧
        一、齊次線性方程組
        二、非齊次線性方程組
        本章同步練習題
        一、選擇題
        二、填空題
        三、解答題
        同步練習題答案解析
        第五章矩陣的特征值和特征向量
        疤嵋?
        考試要求
        本章知識框架圖
        基礎知識講解
        一、特征值和特征向量
        二、可相似對角化
        三、實對稱矩陣
        典型例題與方法技巧
        一、特征值和特征向量
        二、可相似對角化
        三、實對稱矩陣
        本章同步練習題
        一、選擇題
        二、填空題
        三、解答題
        同步練習題答案解析
        第六章二次型
        學習提要
        考試要求
        本章知識框架圖
        基礎知識講解
        一、二次型及其標準形
        二、正定二次型
        典型例題與方法技巧
        一、二次型及其標準形
        二、正定二次型
        本章同步練習題
        一、選擇題
        二、填空題
        三、解答題
        同步練習題答案解析

          編輯推薦

            《中公版·2021考研數學:線性代數專項輔導》具有以下幾大特色。
        一、掃描二維碼,與老師面對面。
        本書在“基礎知識講解”部分針對部分核心考點配有二維碼,“本章同步練習題”中部分題目也附有二維碼,考生掃碼即可觀看相關考點和題目的視頻講解。助考生告別無聲讀書的時代。
        二、“漸進式”講解;突出重點,不留盲點。
        本書的“基礎知識講解”從淺顯的角度切入,詳細講述了各章的基礎知識,并為易混易錯的考點設置了“注”,對其作進一步的解釋。
        三、掃碼上自習,輕松又智能
        購書享有研究生考試自習室多樣增值服務,考生可利用碎片化時間,隨時隨地上自習,體驗智能時代學習的快捷。

          文摘

        行列式作為線性代數的基礎,對于考生解決考研試題中線性代數部分的題目至關重要。本章節的知識點在考試過程中一般不會被直接考查,但它與后續章節的聯系非常緊密,因此涉及本章知識點的考題綜合性很強,出現形式以選擇題為主。在解題過程中除了要用到行列式常見的性質外,更需要結合矩陣、向量和特征值等相關知識點,所以對考生綜合能力要求較高??忌枰性鷮嵉幕A,不僅要理解行列式的概念,還要牢固掌握行列式的性質,更要懂得如何應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式。
        1.了解行列式的概念,掌握行列式的性質。
        2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式。
        一、行列式的概念
        (一)二階行列式的概念
        設有4個數排成兩行兩列(橫排稱行,豎排稱列)的數表
        a11a12
        a21a22,
        表達式a11a22-a12a21稱為上表確定的二階行列式,并記作a11a12a21a22。
        (二)三階行列式的概念
        設有9個數排成3行3列的數表
        a11a12a13
        a21a22a23
        a31a32a33,(1)
        記a11a12a13
        a21a22a23
        a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,
        (2)
        則(2)式稱為數表(1)確定的三階行列式。
        (三)n階行列式的相關概念
        1.逆序數的概念
        設n個元素為1到n這n個自然數,并規定由小到大為標準次序。設p1p2…pn為這n個自然數的一個排列,考慮元素pi(i=1,2,…,n),如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti個,則稱關于pi這個元素的逆序數是ti,全體元素的逆序數之和為
        t=t1+t2+…+tn=∑ni=1ti,
        即這個排列的逆序數。
        逆序數為奇數的排列叫作奇排列,逆序數為偶數的排列叫作偶排列。
        視頻講解
        2.n階行列式的概念
        設有n2個數,排成n行n列的數表
        a11a12…a1n
        a21a22…a2n
        
        an1an2…ann,
        找出表中位于不同行不同列的n個數的乘積,并冠以符號(-1)t,得到形如
        (-1)ta1p1a2p2…anpn(3)
        的項,其中p1p2…pn為自然數1,2,…,n的一個排列,t為這個排列的逆序數,由于這樣的排列共有n!個,因而形如(3)式的項共有n!個,所有這n!項的代數和
        ∑(-1)ta1p1a2p2…anpn
        稱為n階行列式,記作
        D=
        a11a12…a1n
        a21a22…a2n
        
        an1an2…ann,
        簡記為det(aij),其中數aij為行列式D的第i行第j列元素,或稱其為(i,j)元。
        3.余子式與代數余子式的概念
        在n階行列式中,把(i,j)元aij所在的第i行和第j列劃去后,留下來的n-1階行列式叫作(i,j)元aij的余子式,記作Mij;記Aij=(-1)i+jMij,Aij叫作(i,j)元aij的代數余子式。
        4.轉置行列式的概念
        記D=a11a12…a1n
        a21a22…a2n
        
        an1an2…ann
        ,DT=
        a11a21…an1
        a12a22…an2
        
        a1na2n…ann,
        行列式DT稱為行列式D的轉置行列式。
        二、行列式的性質
        視頻講解
        性質1行列式與它的轉置行列式相等。
        性質2互換行列式的兩行(列),行列式變號。
        推論如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式等于零。
        性質3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k,等于用數k乘此行列式。
        推論行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。
        性質4行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零。
        性質5若行列式的某一行(列)的元素都是兩數之和,例如第i列的元素都是兩數之和:
        D=a11a12…(a1i+a′1i)…a1n
        a21a22…(a2i+a′2i)…a2n
        
        an1an2…(ani+a′ni)…ann
        ,
        則D等于下列兩個行列式之和
        D=a11a12…a1i…a1n
        a21a22…a2i…a2n
        
        an1an2…ani…ann
        +
        a11a12…a′1i…a1n
        a21a22…a′2i…a2n
        
        an1an2…a′ni…ann
        。
        性質6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數然后加到另一行(列)對應的元素上去,行列式不變。
        例如以數k乘第j列加到第i列上(記作ci+kcj),有
        a11…a1i…a1j…a1n
        a21…a2i…a2j…a2n
        
        an1…ani…anj…annci+kcj
        a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n
        a21…(a2i+ka2j)…a2j…a2n
        
        an1…(ani+kanj)…anj…ann
        (i≠j)。
        (以數k乘第j行加到第i行上,記作ri+krj)
        三、行列式的計算
        (一)行列式按行(列)展開定理
        視頻講解
        定理行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和,即
        D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n),
        或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)。
        推論行列式某一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數余子式乘積之和等于零,即
        ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0,i≠j,
        或a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0,i≠j。
        (二)遞推法
        利用行列式的性質或展開式找出遞推關系式,再根據所得的遞推關系式遞推或迭代求出所給行列式的值,該方法一般適用于高階且元素有規律的行列式的計算。
        (三)歸納法
        (1)第一數學歸納法:
        第一步,驗證n=1時,命題fn正確;
        第二步,設n=k時,命題fn正確;
        第三步,證明n=k+1時,命題fn正確。
        (2)第二數學歸納法:
        第一步,驗證n=1和n=2時,命題fn都正確;
        第二步,設n 第三步,證明n=k時,命題fn正確。
        (四)公式法
        1.二階及三階行列式的計算
        二階行列式的值a11a12a21a22=a11a22-a12a21;
        三階行列式的值a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32。
        2.上(下)三角形行列式的計算
        上(下)三角形行列式的值等于主對角線元素的乘積。
        a11a12…a1n
        0a22…a2n
        
        00…ann
        =
        a110…0
        a21a22…0
        
        an1an2…ann
        =
        ∏ni=1aii。
        3.有關副對角線的行列式的計算
        a11a12…a1,n-1a1n
        a21a22…a2,n-10
        
        an-1,1an-1,2…00
        an10…00=
        00…0a1n
        00…a2,n-1a2n
        
        0an-1,2…an-1,n-1an-1,n
        an1an2…an,n-1ann
        =(-1)n(n-1)2a1na2,n-1…an1。
        4.兩類特殊的拉普拉斯展開式
        設A為n階方陣,B為m階方陣,則
        AO*B=
        A*OB=A·B,
        OAB*=
        *ABO=(-1)mnA·B。
        5.n階范德蒙德行列式的計算
        Vn=11…1x1x2…xnx21x22…x2n
        
        xn-11
        xn-12…xn-1n=
        1x1x21…xn-11
        1x2x22…xn-12
        
        1xnx2n…xn-1n
        =∏1≤j<i≤n(xi-xj),
        顯然,當且僅當x1,x2,…,xn兩兩不等時,Vn≠0。
        【例1.1】(Ⅰ)在一個n階行列式D中等于“0”的元素個數大于n2-n,則D=。
        (Ⅱ)D=00…010
        00…200
        
        1 9990…00000…002 000
        =。
        【詳解】(Ⅰ)n階行列式D共有n2個元素,由于“0”元素的個數大于n2-n,所以非“0”元素的個數小于n(因為n2-(n2-n)=n)。由n階行列式的概念可知,D的每一項均為0(因為每一項中至少有一個等于“0”的元素),故D=0。
        (Ⅱ)D=(-1)r(n-1,n-2,…,1,n)a1,n-1a2,n-2…an-1,1ann=(-1)(n-1)(n-2)2a1,n-1a2,n-2…ann
        n=2 000(-1)1 999×1 99821×2×3×…×1 999×2 000=-2 000!。
        本題主要考查利用n階行列式的概念求行列式的值。當所求行列式中有較多“0”元素時,應首先考慮利用行列式的概念與性質解題。
        【例1.2】行列式D=ab0ba0101=0,則a,b應滿足()
        (A)a=b或a=-b。(B)a=2b且b≠0。
        (C)b=2a且a≠0。(D)a=1,b=12。
        【詳解】方法一:D=ab0ba0101=a×a×1+b×0×1+0×b×0-0×a×1-b×b×1-a×0×0=a2-b2=0,于是a=b或a=-b。故選(A)。
        方法二:先將行列式按第3列展開,再按對角線法則計算二階行列式,得
        D=ab0ba0101=1·abba=a2-b2=0,
        于是a=b或a=-b。故選(A)。
        本題主要考查三階行列式的計算。此類題目比較簡單,直接利用三階行列式的計算公式即可(如方法一)。此外,也可以考慮將三階行列式按某一行(列)展開,轉化為二階行列式進行計算(如方法二)。此時,盡可能選取非零元素較少的行(列)。
        【例1.3】計算行列式0111202233034440。
        【詳解】為了避免出現分數的計算,先從行列式的元素中找一個“1”,再將該“1”所在的行或列其余元素全化為0。例如,我們選定第一行第二個“1”,將第一行其余元素化為0,再按照第一行展開得
        0111202233034440=0100202233-30440-4=1×(-1)1+22223-3040-4=-2223-3040-4。
        剩下的三階行列式可以直接代公式計算,也可以再次展開,例如
        原式=-2223-3040-4=-4223-3000-4=4423-3=-72。
        這道題本身很簡單,但卻體現了計算低階行列式的一般思路:二階或三階行列式,一般可以直接計算;高于三階的行列式直接計算會有困難,可以先使用展開定理降階之后再計算。展開之前,一般還需要通過行列式的性質對行列式進行變形,將某一行(或列)化到只有一個非零元的形式。該過程一般可以總結為:找“1”,化零,展開。
        【例1.4】2-512
        -37-14
        5-927
        4-612=。
        【詳解】四階行列式可按行或列展開計算,也可利用行列式的性質對其進行化簡,將某行或某列化為只有一個非零的元素,然后進行降階計算。
        2-512
        -37-14
        5-927
        4-612=2-512
        -1206
        1103
        2-100=1×(-1)1+3-126
        113
        2-10=-126
        113
        2-10,
        對三階行列式再進一步簡化降階計算
        -126
        113
        2-10=326
        313
        0-10=-1×(-1)3+236
        33=-9。
        計算低階行列式的一般思路:二階或三階行列式,一般可以直接計算;高于三階的行列式或是直接計算有困難時,可以先使用展開定理降階之后再計算。展開之前,一般還需要通過行列式的性質對行列式進行變形,將某一行(或列)化為只有一個非零元的形式(為了避免出現分式運算,一般需要在元素中找到一個“1”或“-1”,再把該“1”或“-1”所在的行列式的其他元素化為0)。該過程一般可以

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